在数学中，有理数定义为可以表示为两个整数之比的数，形如，其中b≠0。整数，有限小数和无限循环小数都是有理数，无限不循环小数是无理数，常见的无理数有等等。

常看到一些关于证明，等是无理数的证明题，下面就先给出一个常见的证明是无理数的方法，用的是反证法。

如果是有理数，根据有理数的定义，我们可以假设有如下等式成立：

(已不可再约分，也就是p和q是互质整数，q≠0)

(1)

等式两边分别平方后乘以q的平方，可得：

(2)

由于2是等式左边的一个因子，可知是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以p是偶数。设p = 2 r ，代入等式(2)可得：

，即

(3)

由于2是等式右边的一个因子，所以q和p一样，也是偶数。这样一来，p和q就存在公因子2，这与我们假设的p和q互质是矛盾的，故假设不成立，所以不是有理数，是无理数。证毕。

上面是《什么是数学》一书中描述的证明不是有理数的方法。此书中还有个习题要求证明不是有理数。这次就先写到这吧，下次再选一两个习题中的根式进行证明，然后后再尝试寻找其中的规律，将问题一般化。

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