前一节中提到，《什么是数学》一书中还有个习题要求证明 不是有理数。可以看到习题中的几个数有个共性：根号下的部分都是质数（素数），而且习题中也提示了可以用关于质数的一个引理来进行证明。这个引理就是：如果一个质数p整除ab，那么质数p至少可以整除a和b中一者，其中 a和b都是整数。我在这里就不重述书中关于这个引理的证明了，其实书中对此引理用不同的方法分别证明过两次，感兴趣的话可以看看。

在以上的关于质数的这个引理中，令a = b，可知如果p整除 ，则p一定可整除a。也不难证明，如果p整除 ，p也一定可以整除a。

我就用质数的这个性质来证明一下 不是有理数。类似于对 不是有理数的证明，我们可以用反证法，如果是有理数，可以假设有如下等式成立：

(已不可再约分，也就是p和q是互质整数，q≠0)

(1)

等式两边分别立方后再乘以 ，可得：

(2)

由于等式的左右两边都是整数，而2是质数，结合由前述的质数的性质可知，p可被2整除。设p = 2r，代入等式(2)，可得：

，即

(3)

同样，等式左右两边都是整数，也就可得q可被2整除。这样一来，p和q就有了一个公因子2，与之前的p与q互质的假设不符，所以不可能是有理数。证毕。

用类似的方法，可以对其它的几个数进行一一证明，不过，我在下一节中会将这个问题一般化，提供一个一般化的证明。

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