在第一节中给出了是无理数的证明，第二节中又证明了是无理数，而且由类似的方法也很容易证明都是无理数。这几个无理数有个共性：根号下的部分都是质数（素数）。而且在对是无理数的证明之中，用到了质数的一个性质：如果质数p整除，p也一定可以整除a。再进一步，可以证明如果质数p整除，p也一定可以整除a，其中n是大于等于1的自然数，a是正整数。知道了质数的这个性质，就可以进一步证明是无理数了，其中p是质数，n是大于等于2的整数。

这次采用的同样是反证法，如果是有理数，可以假设有如下等式成立：

(已不可再约分，也就是a和b是互质整数，b≠0)

(1)

等式两边分别求n次幂后再乘以，可得：

(2)

由于等式的左右两边都是整数，而p是质数，结合由前述的质数的性质可知，a可被p整除。设a = p r，代入等式(2)，可得：

，等式两边除以p可得

(3)

由于n≥2，可知为整数，所以也是整数。由之前所述的质数的性质，可得b被p整除。这样一来，a和b就有了一个公因子p ，与之前的 a与 b 互质的假设不符，所以不可能是有理数。证毕。

对比一下前一节，可以发现这次的方法和对是无理数的证明几乎是一致的，是不是很简单？而且这个证明还可以进一步一般化，比如说，可以证明在 m满足一定条件的情况下是无理数，证明过程会相对复杂一些，有兴趣的话，大家可以试试。

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